존 폰 노이만 · Mathematische Annalen 100 · 1928

ZUR THEORIE DER GESELLSCHAFTSSPIELE

maxx∈Δm miny∈Δn x⊤Ay = miny∈Δn maxx∈Δm x⊤Ay

합리적인 상대를 마주한 순간,
이미 당신에게는 최선의 전략이 존재한다

1928년, 스물네 살의 폰 노이만이 이 등식을 증명했다. 게임이론이라는 학문이 바로 여기서 태어났다.

THE MAN FROM BUDAPEST

부다페스트에서 온 남자

미니맥스 정리가 있기 전에, 포커 테이블을 응시하던 한 수학자가 있었다.

요한 폰 노이만(János von Neumann, 1903–1957)은 부다페스트의 은행가 집안에서 태어났다. 여섯 살에 여덟 자리 수의 나눗셈을 암산으로 해냈다는 일화가 전해지는 이 신동은 스물둘에 부다페스트에서 수학 박사 학위를 받고 베를린과 괴팅겐으로 향했다. 힐베르트의 곁에서 집합론의 공리화와 양자역학의 수학적 기초를 다듬던 그는 1930년 프린스턴으로 건너갔고, 1933년 갓 설립된 고등연구소의 최연소 교수가 되었다.

그런 그가 매료된 것은 체스가 아니라 포커였다. 체스는 완전정보 게임이다 — 두 사람이 같은 판을 내려다보며, 원리상 최선의 수는 이미 정해져 있다. 폰 노이만은 훗날 체스를 가리켜 잘 정의된 계산의 한 형태일 뿐이라고 잘라 말했다. 반면 포커에서는 상대의 패가 보이지 않는다. 약한 패로 강하게 걸고 강한 패로 약한 척하는 블러핑, 그리고 서로의 속내를 끝없이 되짚는 상호 추측 — 그가 보기에 게임의 본질은 바로 여기에 있었다.

실제 삶은 블러핑으로, 작은 기만의 전술로, 상대가 내가 무엇을 하려 한다고 생각할지 스스로에게 묻는 일로 이루어져 있다. 내 이론에서 게임이란 바로 그런 것이다.

“Real life consists of bluffing, of little tactics of deception, of asking yourself what is the other man going to think I mean to do. And that is what games are about in my theory.”

존 폰 노이만 — 제이컵 브로노프스키, 『인간 등정의 발자취(The Ascent of Man)』의 회고에서

1926년 12월 괴팅겐 수학회에서 처음 발표된 이 결과는 1928년 『Mathematische Annalen』 제100권에 「Zur Theorie der Gesellschaftsspiele」(사교 게임의 이론에 관하여)라는 제목으로 실렸다. 논문은 2인 제로섬 게임에서 혼합전략까지 허용하면 최대최소(maximin)와 최소최대(minimax)가 언제나 일치함을, 곧 게임의 가치 v가 존재함을 증명했다. 열여섯 해가 지난 1944년, 폰 노이만은 경제학자 오스카어 모르겐슈테른과 함께 이 논문을 육백여 쪽의 저작 『게임과 경제행동의 이론(Theory of Games and Economic Behavior)』으로 키워 냈고, 게임이론은 하나의 학문이 되었다.

포커 테이블을 이해하려던 시도가 20세기 사회과학의 언어를 바꾸어 놓았다.

연표 — 미니맥스에 이르는 길, 그리고 그 이후

  1. 1713

    제임스 발데그레이브가 카드 게임 르 에르(le Her)의 혼합전략 해를 서신으로 제시하다.

  2. 1913

    에른스트 체르멜로가 체스 같은 완전정보 게임의 결정성 정리를 증명하다.

  3. 1921–1927

    에밀 보렐이 혼합전략 개념을 정식화했으나, 일반 정리는 성립하지 않으리라 의심하여 증명에 이르지 못하다.

  4. 1928

    폰 노이만이 미니맥스 정리를 증명하다.

  5. 1938

    장 빌이 볼록성만을 쓰는 초등적 증명을 내놓다.

  6. 1944

    폰 노이만과 오스카어 모르겐슈테른이 『게임과 경제행동의 이론』을 출간하다.

  7. 1947

    조지 단치히와의 만남에서 미니맥스와 선형계획 쌍대성의 연결이 드러나다.

  8. 1950

    존 내시가 비제로섬 일반 게임의 균형 존재를 증명하고, 미니맥스는 그 특수경우가 되다.

  9. 1953

    프레셰가 『Econometrica』에 보렐의 1920년대 노트 영역판을 싣자, 폰 노이만이 같은 지면에서 응수하며 게임이론의 기원을 둘러싼 논쟁이 벌어지다.

  10. 1994

    내시·하사니·젤텐이 노벨 경제학상을 받다 — 게임이론의 학문적 승리.

THE PRIORITY DISPUTE

누가 게임이론을 시작했는가

1953년 1월, 『Econometrica』 제21권 1호에 이례적인 지면이 마련되었다. 프랑스 수학자 모리스 프레셰(Maurice Fréchet)의 주선으로, 에밀 보렐이 1921년부터 1927년 사이에 발표한 세 편의 노트가 레너드 새비지(Leonard J. Savage)의 번역으로 실린 것이다. 프레셰는 여기에 「에밀 보렐, 심리 게임 이론과 그 응용의 창시자」라는 글을 붙여, 게임이론의 창시자로 마땅히 보렐을 꼽아야 한다고 주장했다. 한 걸음 더 나아가 그는, 폰 노이만은 보렐이 이미 열어 둔 문으로 들어섰을 뿐이라고까지 표현했다.

같은 호에 실린 한 쪽 분량의 답신 「보렐 노트에 관한 소견(Communication on the Borel Notes)」에서 폰 노이만은 날카롭게 응수했다. 그는 보렐이 순수전략과 혼합전략의 개념을, 그리고 게임을 전략형으로 바라보는 관점을 처음 다듬은 공로는 인정했다. 그러나 정작 보렐 자신은 미니맥스 정리의 일반적 성립을 의심했다는 사실을 짚었다 — 실제로 보렐은 전략이 셋인 대칭 게임의 경우만을 얻었고(1921년의 주장, 1924년의 증명), 전략의 수가 커지면 정리가 깨지리라 보았다. 폰 노이만의 결론은 단호했다. 미니맥스 정리가 증명되기 전까지는 "발표할 만한 것이 아무것도 없었다(there was nothing worth publishing until the ‘minimax theorem’ was proved)"는 것이다.

이 짧은 논쟁은 과학적 공로를 재는 두 개의 저울을 드러낸다. 프레셰는 개념을 처음 내다본 통찰에, 폰 노이만은 그 개념을 정리로 완성한 증명에 무게를 두었다. 오늘의 역사가들은 대체로 양쪽을 나누어 기록한다 — 혼합전략이라는 언어는 보렐의 것이고, 그 언어 위에 세워진 정리는 폰 노이만의 것이다.

개념을 떠올린 사람과 정리를 증명한 사람 사이의 거리 — 게임이론은 바로 그 간격에서 태어났다.

M. Fréchet, “Emile Borel, Initiator of the Theory of Psychological Games and Its Application”, Econometrica 21 (1953), 95–96; J. von Neumann, “Communication on the Borel Notes”, 같은 호, 124–125. 폰 노이만의 인용문은 이 답신에서 가져왔으며, 프레셰의 표현은 그의 해설을 요약한 것이다.

J. v. Neumann, “Zur Theorie der Gesellschaftsspiele”, Mathematische Annalen 100 (1928), 295–320. 인용문은 Jacob Bronowski, The Ascent of Man (1973)에 실린 회고에서 가져왔다.

THE THEOREM

정리와 세 갈래의 증명

게임을 하나의 행렬로 적는 순간, 승부는 직감의 문제에서 해석의 문제로 바뀐다. 이 장에서는 폰 노이만이 1928년에 증명한 미니맥스 정리를 정확히 진술하고, 서로 다른 세 시대의 수학이 남긴 세 갈래의 증명을 그 기제까지 따라간다.

게임을 수학으로

2인 제로섬 게임

두 플레이어의 이해가 정확히 상반되는 게임이다. 한쪽의 이득은 곧 다른 쪽의 손실이며, 두 보수의 합은 언제나 0이다. 행 플레이어가 행을, 열 플레이어가 열을 고르면, 행 플레이어(최대화자)는 보수 행렬 A (m×n)의 성분 aij를 받고 열 플레이어(최소화자)는 −aij를 받는다. 행렬 하나로 게임 전체가 기술된다.

순수전략과 혼합전략

순수전략은 행 또는 열 하나를 확정적으로 고르는 것이다. 혼합전략은 순수전략들 위에 놓인 확률분포, 곧 단체(simplex)의 한 점 x ∈ Δm이다. 스스로도 예측할 수 없도록 결정을 주사위에 맡기는 것 — 그것이 혼합전략의 본질이다.

기대보수

행 플레이어가 x를, 열 플레이어가 y를 쓰면 게임의 결과는 하나의 수로 요약된다.

xTAy = ΣiΣj xiaijyj

바닥과 천장

행 플레이어가 혼합전략 x를 상대에게 공표한다고 하자. 열 플레이어가 최악으로 응수한다고 가정해도 확보되는 값은 miny xTAy다. 이 바닥을 가능한 한 높이 끌어올린 것이 최대최소(maximin)다. 거꾸로 열 플레이어가 y를 공표하면, 행 플레이어가 얻어 갈 수 있는 최대치 maxx xTAy가 곧 허용되는 상한이 된다. 이 천장을 가능한 한 낮게 끌어내린 것이 최소최대(minimax)다.

바닥 · MAXIMIN

maxx∈Δm miny∈Δn xTAy

행 플레이어가 상대의 어떤 응수에도 스스로 보장하는 값이다.

천장 · MINIMAX

miny∈Δn maxx∈Δm xTAy

열 플레이어가 상대의 어떤 공격에도 그 이상은 허용하지 않는 상한이다.

언제나 성립하는 약부등식

임의의 x ∈ Δm, y ∈ Δn에 대하여

miny′ xTAy′ ≤ xTAy ≤ maxx′ x′TAy

가 성립한다. 최솟값은 어떤 특정값보다 크지 않고, 최댓값은 어떤 특정값보다 작지 않기 때문이다. 그런데 맨 왼쪽 항은 x에만, 맨 오른쪽 항은 y에만 의존한다. 따라서 왼쪽에 x에 대한 최댓값을, 오른쪽에 y에 대한 최솟값을 취해도 부등식은 무너지지 않는다.

maxx∈Δm miny∈Δn xTAy ≤ miny∈Δn maxx∈Δm xTAy

바닥은 결코 천장을 넘지 못한다.

여기까지는 자명하다. 문제는 두 값 사이의 간극이다. 순수전략의 세계에서는 이 간극이 벌어진 채 남는 게임이 얼마든지 있다. 폰 노이만의 정리는, 혼합전략의 세계에서는 이 간극이 언제나 정확히 0임을 말한다.

미니맥스 정리 · 1928

모든 유한 2인 제로섬 게임에 대하여

maxx∈Δm miny∈Δn xTAy = miny∈Δn maxx∈Δm xTAy

가 성립한다. 이 공통값 v를 게임의 가치라 하며, 두 플레이어 모두 이 값을 실현하는 최적 혼합전략 x*, y*를 가진다.

여기서 '유한'은 두 플레이어의 순수전략 수 m, n이 유한하다는 뜻이다.

안장점

정리가 내어 주는 해 (x*, y*)는 안장점(saddle point)을 이룬다. 정의는 이렇다. 모든 x ∈ Δm, y ∈ Δn에 대하여

xTAy* ≤ x*TAy* ≤ x*TAy

가 성립한다는 것이다. 왼쪽 부등식은 열 플레이어가 y*를 지키는 한 행 플레이어가 x*에서 이탈해 봐야 얻는 것이 없음을 말하고, 오른쪽 부등식은 행 플레이어가 x*를 지키는 한 열 플레이어의 이탈 역시 마찬가지임을 말한다. 어느 쪽도 혼자 움직여서 득을 볼 수 없다 — 서로가 서로에 대한 최선응수인 것이다. 이것이 22년 뒤 내시 균형이라 불리게 될 개념의 원형이다.

안장점에는 놀라운 성질이 하나 더 있다. 최적전략은 상대에게 공개해도 손해가 없다. x*를 미리 공표하더라도 열 플레이어는 게임의 가치 v 아래로 값을 끌어내리지 못한다. 감추어야 하는 것은 오늘의 개별 선택뿐이며, 비율 그 자체는 광장에 붙여 두어도 된다.

세 갈래의 증명

같은 정리가 서로 다른 수학으로 세 번 증명되었다. 세 증명은 각기 다른 시대의 도구를 반영하며, 셋을 나란히 놓으면 20세기 수학이 걸어온 길이 보인다.

1928 · 위상수학

고정점 접근

폰 노이만의 원증명이다. 두 플레이어가 서로의 전략에 최선으로 응수하는 과정을 연속 변형으로 구성하고, 이 변형이 움직이지 못하는 점 — 고정점 — 이 반드시 존재함을 보인다. 그 고정점에서 두 전략은 서로에 대한 최선응수가 되어 간극이 닫힌다. 브라우어 고정점 정리 계열의 위상수학적 논증이며, 훗날 1937년 그는 이를 훨씬 투명한 볼록성 논증으로 다듬었다.

1938 · 볼록기하

분리 초평면

장 빌(Jean Ville)의 초등적 증명이다. 열 플레이어의 혼합전략으로 도달 가능한 보수 벡터들이 이루는 볼록집합을 놓고, 이 집합이 음의 팔분공간과 만나지 않는 경우를 본다. 그러면 둘을 가르는 초평면이 존재하고, 그 법선벡터를 정규화한 것이 바로 행 플레이어의 최적 혼합전략이 된다. 기하 하나로 정리가 떨어진다.

1947 · 최적화

LP 쌍대성

게임의 가치 v를 구하는 문제는 선형계획(LP) 문제로 적힌다. 그런데 행 플레이어의 문제와 열 플레이어의 문제는 정확히 서로의 쌍대(dual)다. 따라서 강쌍대성 정리와 미니맥스 정리는 사실상 같은 명제이며, 이 연결은 단치히와 폰 노이만의 대화에서 드러났다.

왜 혼합전략인가

순수전략만 허용하면 바닥과 천장이 만나지 않는 게임이 있다. 동전 맞추기가 그렇다. 어느 면을 내든, 그 선택이 읽히는 순간 진다. 예측당하는 자는 반드시 지며, 확정적인 선택은 반드시 예측당한다. 혼합전략은 이 막다른 길의 유일한 출구다. 무작위성은 변덕이 아니라 정보를 감추는 정확한 도구이고, 최적의 비율은 취향이 아니라 계산의 결과다.

미니맥스 정리는 '운에 맡긴다'를 '정확히 계산된 비율로 운에 맡긴다'로 바꾸었다.

WORKED EXAMPLES

네 개의 게임으로 읽는 정리

정리는 명제로 머무는 동안에는 손에 잡히지 않는다. 안장점이 한눈에 드러나는 게임에서 출발해, 순수전략이 무너지는 게임, 규칙을 살짝 비틀자 최적전략이 뒤집히는 게임, 그리고 실제 그라운드 위에서 검증된 게임까지 — 네 개의 보수 행렬을 직접 풀며 정리를 읽는다.

A VISIBLE SADDLE

안장점이 보이는 게임

행 플레이어 · 최대화자열 플레이어 · 최소화자

가장 온순한 경우부터 시작한다. 행 플레이어는 세 행 가운데 하나를, 열 플레이어는 세 열 가운데 하나를 동시에 고르고, 항 aij는 행 플레이어가 받는 보수다. 열 플레이어는 −aij를 받는다.

A 열 1 열 2 열 3
행 1 3 1 2
행 2 0 −1 4
행 3 1 0 2
각 행의 최솟값과 각 열의 최댓값을 표시했다. 두 표시가 유일하게 겹치는 칸 — 금색 테두리의 a12 = 1 — 이 안장점이다.

각 행의 최솟값

행 1은 1, 행 2는 −1, 행 3은 0. 최악의 결과가 가장 나은 행은 행 1이고, 최대최소 = 1이다.

각 열의 최댓값

열 1은 3, 열 2는 1, 열 3은 4. 최악의 결과가 가장 나은 열은 열 2이고, 최소최대 = 1이다.

두 값의 일치

최대최소 = 최소최대 = 1. 따라서 a12 = 1이 안장점이고, 게임의 가치는 v = 1이다.

순수전략 쌍 (행 1, 열 2)에서 벗어날 유인은 어느 쪽에도 없다. 행 플레이어가 행 2나 행 3으로 옮기면 보수는 1에서 −1이나 0으로 떨어지고, 열 플레이어가 열 1이나 열 3으로 옮기면 3이나 2로 뛰어오른다. 게임은 순수전략만으로 닫힌다 — 다만 모든 게임이 이렇게 관대하지는 않다.

안장점이 있으면 아무도 숨길 것이 없다 — 두 플레이어가 전략을 공개해도 결과는 그대로다.

MATCHING PENNIES

동전 맞추기 Matching Pennies

두 플레이어가 동시에 동전의 앞면 또는 뒷면을 낸다. 면이 일치하면 행 플레이어가 1을 얻고, 어긋나면 1을 잃는다.

A 앞면 뒷면
앞면 1 −1
뒷면 −1 1
행 최솟값 표시와 열 최댓값 표시가 어떤 칸에서도 만나지 않는다 — 안장점이 없다.

순수전략으로는 답이 없다. 어느 행을 고르든 최솟값은 −1이므로 최대최소 = −1이고, 어느 열을 고르든 최댓값은 1이므로 최소최대 = +1이다. 두 값 사이에 간극이 2만큼 벌어져 있고, 어떤 순수전략 쌍을 제시해도 한쪽은 이탈로 이득을 본다.

이제 행 플레이어가 앞면을 확률 p로 낸다고 하자. 상대가 앞면을 내면 기대보수는 p·1 + (1 − p)·(−1) = 2p − 1이고, 뒷면을 내면 1 − 2p다. 상대가 어느 쪽을 골라도 결과가 달라지지 않도록 — 이것이 무차별 원리다 — 두 식을 같게 놓는다.

2p − 1 = 1 − 2p ⇒ p* = 12

대칭인 게임이므로 열 플레이어도 마찬가지로 q* = 1/2이고, 게임의 가치는 v = 2·(1/2) − 1 = 0이다. 순수전략의 세계에서 2였던 간극이 혼합전략의 세계에서 정확히 닫힌다. 이 해의 핵심은 어느 면을 낼 것인가가 아니라, 스스로도 모르게 내는 것이다. 공정한 동전에 선택을 맡기는 순간 상대는 내 전략을 완전히 알아도 평균적으로 아무것도 가져가지 못한다.

예측 불가능성 그 자체가 최적전략이다 — 공정한 동전을 던지는 순간, 상대는 어떤 수로도 평균 0 이상을 가져가지 못한다.

ROCK · PAPER · SCISSORS

가위바위보, 그리고 규칙을 비트는 순간

표준 가위바위보

바위·보·가위 순서로 행과 열을 배열하고 승리에 +1, 패배에 −1, 비김에 0을 주면 보수 행렬은 다음과 같다.

A 바위 보 가위
바위 0 −1 1
보 1 0 −1
가위 −1 1 0
모든 행의 최솟값이 −1, 모든 열의 최댓값이 +1 — 표시가 겹치는 칸이 없으므로 순수전략 해는 존재하지 않는다.

이 행렬은 반대칭(A⊤ = −A)이다. 두 플레이어의 처지가 완전히 대칭이므로 게임의 가치는 v = 0이고, 최적 혼합전략은 균등 분포 (1/3, 1/3, 1/3)이다. 어느 한 수를 조금이라도 더 내는 순간, 그 수를 이기는 수로 상대가 착취한다.

변형 — 가위로 이기면 2점

규칙을 하나만 바꾼다. 가위가 보를 이길 때만 ±2점, 나머지 승패는 그대로 ±1점이다.

A 바위 보 가위
바위 0 −1 1
보 1 0 −2
가위 −1 2 0
가위–보 대결의 두 항만 바뀌었다. 금색 +2는 행 플레이어의 가위가 보를 이길 때, 장미색 −2는 그 반대의 경우다.

행렬은 여전히 반대칭이므로 v = 0이고 최적전략은 양쪽이 동일하다. 그러나 균등 분포는 더 이상 최적이 아니다. 바위·보·가위를 낼 확률을 각각 r, p, s라 하고(rock, paper, scissors의 머리글자), 상대의 세 순수전략 각각에 대한 기대보수가 모두 0이 되도록 무차별 조건 x⊤A = 0을 세운다.

열 1 (바위): p − s = 0 열 2 (보): −r + 2s = 0 열 3 (가위): r − 2p = 0

세 식에서 r = 2s, p = s이고, r + p + s = 1로 정규화하면 최적 혼합전략이 나온다.

x* = (12, 14, 14) — 바위 1/2, 보 1/4, 가위 1/4

직관을 배반하는 해다. 가위의 보상이 커졌으니 가위를 더 내고 싶어지지만, 최적해에서 가위는 1/3에서 1/4로 오히려 줄고, 가위를 잡는 바위가 1/3에서 1/2로 늘어난다. 위험해진 무기를 상대가 더 꺼내리라는 압력이 생기는 순간, 그 무기를 응징하는 수의 가치가 함께 오르기 때문이다. 보상이 커진 무기는 더 자주 쓰는 무기가 아니라, 더 강하게 견제당하는 무기가 된다.

검산 — 상대가 바위

p − s = 1/4 − 1/4 = 0

검산 — 상대가 보

−r + 2s = −1/2 + 1/2 = 0

검산 — 상대가 가위

r − 2p = 1/2 − 1/2 = 0

상대가 어떤 순수전략을 들고 나와도 기대보수는 정확히 0 — 게임의 가치 v = 0 그대로다.

규칙이 무기 하나를 강화하면, 균형은 그 무기가 아니라 그 무기를 잡는 수 쪽으로 기운다.

THE 2×2 FORMULA

2×2 일반해와 페널티킥

2×2 일반해

안장점이 없는 2×2 게임은 손으로 완전히 풀린다. 일반 보수 행렬을 놓자.

A 열 1 열 2
행 1 a b
행 2 c d
안장점이 없는 일반 2×2 보수 행렬.

행 플레이어가 행 1을 확률 p로 내면 열 1에 대한 기대보수는 pa + (1 − p)c, 열 2에 대해서는 pb + (1 − p)d다. 안장점이 없다면 최적의 p는 무차별 원리에 따라 두 값을 같게 만들고, 같은 논리를 열 플레이어에게도 적용하면 닫힌 공식이 나온다.

p* = d − ca − b − c + d q* = d − ba − b − c + d v = ad − bca − b − c + d

동전 맞추기로 검산하면 a = 1, b = −1, c = −1, d = 1에서 분모는 4, p* = 2/4 = 1/2, v = (1 − 1)/4 = 0 — 앞의 결과와 정확히 일치한다.

응용 — 페널티킥

키커 · 행 플레이어골키퍼 · 열 플레이어

페널티킥은 이 공식이 살아 움직이는 무대다. 키커는 왼쪽 또는 오른쪽으로 차고, 골키퍼는 왼쪽 또는 오른쪽으로 몸을 던진다. 항은 득점 확률이다. 키커는 이를 최대화하고 골키퍼는 최소화하므로, 구조는 2인 제로섬 게임 그대로다.

득점 확률 키퍼 왼쪽 다이빙 키퍼 오른쪽 다이빙
킥 왼쪽 0.70 0.95
킥 오른쪽 0.93 0.60
성공확률 행렬. 행 최솟값과 열 최댓값이 만나는 칸이 없으므로 순수전략 해는 없다.
분모 = 0.70 − 0.95 − 0.93 + 0.60 = −0.58 p* = (0.60 − 0.93) / (−0.58) ≈ 0.57 q* = (0.60 − 0.95) / (−0.58) ≈ 0.60 v = (0.42 − 0.8835) / (−0.58) ≈ 0.80

최적 혼합에서 키커는 왼쪽으로 약 57%, 골키퍼는 왼쪽으로 약 60% 몸을 던진다.

80% 최적 혼합 아래의 기대 득점률 (v ≈ 0.80)

이그나시오 팔라시오스-우에르타(2003)는 유럽 프로 리그의 페널티킥 기록을 분석해, 키커와 골키퍼의 실제 방향 선택 비율이 미니맥스 해와 통계적으로 구별되지 않음을 보였다. 논문의 제목 그대로 — 프로들은 미니맥스를 플레이한다(Professionals Play Minimax). 1928년의 정리가 그라운드 위에서 관측된 것이다.

위 성공확률 행렬은 실제 실증 연구의 수치를 단순화한 예시이며, 방향은 모두 키커 기준이다.

프로 선수들은 미니맥스 정리를 계산한 적이 없지만, 그들의 킥 분포는 정리의 해와 통계적으로 구별되지 않았다.

VON NEUMANN'S POKER

다섯 번째 게임 — 폰 노이만의 포커

플레이어 I · 체크/베팅 · 최대화자플레이어 II · 폴드/콜 · 최소화자

1928년의 정리가 추상적인 보수 행렬 위에서 진술되었다면, 그 정리가 처음부터 겨눈 과녁은 카드 테이블이었다. 폰 노이만은 오스카어 모르겐슈테른과 함께 쓴 『게임 이론과 경제 행동』(1944)에서 포커에 한 절 전체를 바친다 — 19절, 'Poker and Bluffing'. 실제 포커의 살을 모두 발라내고 남긴 뼈대는 다음과 같다.

두 플레이어가 각각 1의 앤티를 걸고, 구간 [0, 1]에서 균등하게, 서로 독립으로 뽑힌 패를 한 장씩 받는다. 플레이어 I의 패를 s, 플레이어 II의 패를 t라 하자. 먼저 움직이는 쪽은 I이다 — 체크하면 즉시 쇼다운이 되어 높은 패가 앤티를 가져가고, 고정 금액 B를 베팅하면 결정은 II에게 넘어간다. 전략이 패마다 행동을 지정하는 함수가 되면서 전략 공간은 연속체로 커지지만, 구조는 여전히 2인 제로섬 게임이다. 아래에서 최적전략 쌍을 직접 제시함으로써 이 게임에도 게임의 가치 v가 존재함을 보인다.

체크 → 쇼다운

높은 패가 앤티를 가져간다. I의 보수는 s > t이면 +1, 아니면 −1이다.

베팅 → 폴드

패를 보이지 않은 채 I이 +1을 가져간다. 블러프가 이익을 내는 유일한 통로다.

베팅 → 콜

앤티와 베팅을 모두 건 쇼다운. 이기는 쪽이 1 + B를 가져간다.

최적전략의 구조 — 베팅 영역이 두 조각으로 갈라진다

자연스러운 후보는 단일 컷오프 전략이다. 어떤 문턱 위의 패면 베팅하고, 아래면 체크한다. 그러나 이것은 최적이 아니다. 베팅이 언제나 강함을 뜻한다면 II는 아주 강한 패로만 콜하면 되고, I의 강한 패는 돈을 받아내지 못한다. 미니맥스 해의 모양은 다르다.

플레이어 I — 베팅: s < a 또는 s > b, 체크: a ≤ s ≤ b 플레이어 II — 콜: t > c, 폴드: t < c
a = B(B + 1)(B + 4) b = B2 + 4B + 2(B + 1)(B + 4) c = B(B + 3)(B + 1)(B + 4)

베팅 영역이 축의 양 끝으로 갈라져 있다는 것 — 이것이 이 모형의 발견이다. 최상의 패는 팟을 불리려고 베팅하고(가치 베팅), 최악의 패는 상대를 접게 만들려고 베팅한다(블러프). 블러프를 맡는 것이 어중간한 패가 아니라 최악의 패라는 점이 요체다. 중간 패는 쇼다운에서 이길 여지가 남아 있으므로 체크로 그 가치를 지키는 편이 낫고, 바닥의 패는 쇼다운 가치가 전혀 없어 잃을 것이 없다 — 상대가 접어 줄 때 얻는 것이 가장 큰 패이기도 하다. 퍼거슨 부자의 비교를 빌리면, 에밀 보렐의 유사한 모형에서 블러프는 버리는 패 가운데 가장 좋은 패의 몫이었지만, 폰 노이만의 모형에서 블러프는 가장 나쁜 패의 몫이다. 그리고 이 블러프는 선택 사항이 아니다. II가 최적으로 플레이하는 한 s < a 구간에서 베팅은 체크를 엄격히 이기므로, I의 모든 최적전략은 블러프를 포함해야 한다.

B = 2 — 팟 크기 베팅의 해

앤티 둘이 만든 팟과 같은 크기의 베팅, B = 2를 넣으면 숫자가 깨끗하게 떨어진다.

B = 2 ⇒ a = 19, b = 79, c = 59

패가 하위 9분의 1이면 블러프로, 상위 9분의 2이면 가치로 베팅하고, 가운데 3분의 2는 체크한다. II는 상위 9분의 4로만 콜한다.

B = 2에서의 최적전략. 플레이어 I의 베팅 영역은 축의 양 끝 — 최악의 패(블러프)와 최상의 패(가치 베팅) — 으로 갈라지고, 가운데 3분의 2는 체크한다. 플레이어 II는 단일 문턱 위에서만 콜한다.

검산 — 가치 경계 s = 7/9

체크의 기대보수는 2·(7/9) − 1 = 5/9. 베팅하면 확률 5/9로 II가 폴드해 +1을 얻고, 콜 구간에서는 ±3이 정확히 상쇄되어 합은 다시 5/9. 무차별이다.

검산 — 블러프 경계 s = 1/9

체크는 2·(1/9) − 1 = −7/9. 블러프는 (5/9)·1 − (4/9)·3 = −7/9. 여기서도 무차별 — 이보다 나쁜 패에서는 체크의 값만 떨어지므로 블러프가 엄격히 낫다.

검산 — 콜 문턱 t = 5/9

II는 2를 더 걸고 팟에 든 4를 노린다 — 손익분기 승률은 2/6 = 1/3. 베팅 가운데 블러프의 비중이 (1/9)/(3/9) = 1/3이므로 문턱의 패는 콜과 폴드 사이에서 정확히 무차별이다.

이 전략 쌍 아래에서 기대보수를 적분하면 게임의 가치가 나온다.

1/9 게임의 가치 v = 1/9 — 먼저 베팅할 권리, 곧 블러프할 권리의 값이다

가치가 양수이므로 게임은 먼저 베팅하는 쪽에 유리하다. 나아가 베팅 크기까지 I이 고를 수 있다면 최선의 선택 역시 B = 2다 — v(B) = B/((B + 1)(B + 4))는 정확히 거기서 최대가 된다. 공교롭게도 게임의 가치는 블러프 컷오프와 같은 식이다: v = a.

심리가 아니라 비율이다

이 해 어디에도 상대의 표정을 읽는 대목은 없다. 베팅 가운데 블러프가 차지하는 비중은 컷오프 공식에서 곧바로 나온다.

aa + (1 − b) = B2B + 2 = 콜하는 쪽의 팟 오즈 — B = 2에서 13

블러프가 이보다 잦으면 II는 경계의 패로 모두 콜해 이득을 보고, 이보다 드물면 II는 베팅을 액면 그대로 믿고 접어 버려 I의 강한 패가 돈을 받아내지 못한다. 최적의 빈도는 그 사이의 한 점에 있고, 그 점을 정하는 것은 상대에 대한 짐작이 아니라 베팅의 크기다.

첫 장에서 인용한 폰 노이만의 말 — 실제 삶은 블러핑으로, 작은 기만의 전술로 이루어져 있다 — 이 여기서 정리로 돌아온다. 포커 테이블의 기만은 동전 맞추기의 무작위화와 정확히 같은 자리에 놓인 최적 혼합전략의 한 성분이다. 다만 이번에 섞이는 것은 앞면과 뒷면이 아니라 정직과 기만이며, 둘의 비율마저 정리가 정한다.

모형과 컷오프 공식은 폰 노이만·모르겐슈테른의 『게임 이론과 경제 행동』(1944) 19절과, 이를 정리한 C. 퍼거슨·T. S. 퍼거슨의 'On the Borel and von Neumann Models of Poker'(2003)를 따랐다. 후자의 저자는 UCLA의 게임 이론가 토머스 퍼거슨과, 그의 아들이자 2000년 월드 시리즈 오브 포커 챔피언인 크리스 퍼거슨이다.

최적의 블러핑은 배짱이 아니라 비율이다 — 그리고 그 비율은 상대의 눈빛이 아니라 베팅의 크기가 정한다.

THE STRATEGY LABORATORY

전략 실험실

정리는 종이 위에만 머물지 않는다. 아래의 기구는 임의의 2인 제로섬 게임을 받아 최적 혼합전략과 게임의 가치 v를 즉석에서 계산한다. 보수 행렬 A의 숫자를 바꾸는 순간, 균형은 다시 계산된다.

보수 행렬 A

행 플레이어 · 최대화자 열 플레이어 · 최소화자
전략 앞면 뒷면
앞면
뒷면

칸의 값 aij는 행 플레이어가 받는 보수이며, 열 플레이어는 −aij를 받는다.

게임의 해

게임의 가치 v 0.000 혼합전략 필요 — 안장점 없음

행 플레이어의 최적 혼합

열 플레이어의 최적 혼합

열의 순수 응수 — 전략 1 열의 순수 응수 — 전략 2 하부 포락선 — 행이 보장하는 보수
행 플레이어가 행 1에 확률 p를 배정할 때 열 플레이어의 두 순수 응수가 만드는 기대보수 직선. 골드 하부 포락선의 최고점이 행 플레이어가 보장할 수 있는 최대치이며, 그 좌표가 (p*, v)이다.

어떤 보수 행렬을 넣어도 결과는 같다 — 미니맥스 정리가 약속한 대로, 게임의 가치 v는 언제나 존재한다.

THE THEOREM, DRAWN

정리를 그림으로

기호로 쌓아 올린 논증을 이제 눈으로 확인한다. 안장 곡면 위에서 두 방향의 극값이 한 점에서 만나는 기하, 순수전략의 간극이 혼합전략으로 닫히는 순간, 그리고 두 이해가 정확히 상반되는 게임의 구조 — 세 장의 그림이 같은 정리를 세 각도에서 그린다.

안장점 · v x 방향: 봉우리 — 행은 더 얻을 수 없다 y 방향: 골짜기 — 열은 더 줄일 수 없다
안장 곡면. 안장점에서는 한 방향으로는 최대, 다른 방향으로는 최소가 동시에 성립한다 — max min과 min max가 만나는 자리다.
+1 0 −1 순수전략 천장 min max = +1 바닥 max min = −1 간극 2 게임이 풀리지 않는다 혼합전략 v = 0 혼합이 천장을 끌어내린다 혼합이 바닥을 끌어올린다
바닥과 천장, 그리고 정리. 순수전략에서는 바닥과 천장 사이에 간극이 남지만, 혼합전략은 그 간극을 정확히 0으로 닫는다 — 이것이 미니맥스 정리다.
행 플레이어 열 플레이어 동시에, 서로 모르게 봉인된 선택 봉인된 선택 aij +aij → 행 플레이어 −aij → 열 플레이어 이득의 합은 언제나 0
제로섬의 해부. 두 선택이 행렬의 한 칸을 지목하고, 그 칸의 값이 한쪽의 이득이자 다른 쪽의 손실이 된다 — 이해가 정확히 상반된 게임.

THE OTHER MINIMAX

두 개의 미니맥스

체스 엔진의 '미니맥스 탐색'과 폰 노이만의 미니맥스 정리는 이름만 같은 사촌이다. 하나는 완전정보 게임 트리의 값을 계산하는 절차이고, 다른 하나는 감춰진 정보의 게임에서 균형의 존재를 보증하는 정리다. 이 장은 둘을 나란히 놓고 경계선을 긋는다.

인공지능 교과서의 '미니맥스 알고리즘'과 1928년의 미니맥스 정리는 자주 하나로 뭉뚱그려진다. 그러나 둘은 같은 철학을 공유할 뿐 서로 다른 대상이다. 정리는 어떤 게임에 균형이 존재하는가를 보증하고, 알고리즘은 이미 값이 정해져 있는 게임에서 그 값을 실제로 계산한다.

체스와 바둑처럼 두 사람이 번갈아 두고 모든 수가 보이는 완전정보 순차 게임에서는, 에른스트 체르멜로가 1913년 체스에 대해 증명했듯 어느 한쪽이 승리를 강제할 수 있거나 양쪽 모두 최소한 무승부를 지켜 낼 수 있다. 게임의 끝에서 출발해 한 수씩 거슬러 오르는 역진 귀납 논법이 보여 주듯, 이런 게임의 값은 순수전략만으로 정해진다. 주사위도, 동전 던지기도, 혼합전략도 필요 없다.

미니맥스 알고리즘은 바로 그 값을 게임 트리 위에서 계산하는 절차다. 잎까지 내려가 국면마다 평가값을 매긴 뒤, 올라오면서 나의 차례에서는 최댓값을, 상대의 차례에서는 최솟값을 취한다. 반면 1928년의 정리가 반드시 필요한 곳은 전혀 다른 세계다. 페널티킥과 포커처럼 동시에 선택하고 정보가 감춰진 게임 — 오직 거기서만 혼합전략과 안장점이 무대에 오른다.

알파-베타 가지치기의 착상은 1950년대 존 매카시에게 거슬러 올라간다. 알렉산더 브루드노가 1963년 독립적으로 알고리즘을 발표했고, 도널드 커누스와 로널드 무어가 1975년 논문 「An Analysis of Alpha-Beta Pruning」에서 정확성의 증명과 함께 그 성능을 체계적으로 분석했다.

MAX 나의 차례 · 최대 MIN 상대의 차례 · 최소 잎 · 평가값 3 3 ≤ 2 3 5 4 2 7 6 max(3, ≤2) = 3 min(3, 5, 4) = 3 첫 잎이 2 ≤ 3 → 남은 잎 탐색 생략 α–β 가지치기 — 볼 필요 없는 가지
미니맥스 알고리즘은 완전정보 게임 트리의 값을 잎에서 뿌리로 밀어 올리며 계산한다 — MIN 노드에서는 잎들의 최솟값을, 뿌리의 MAX 노드에서는 그 최댓값을 취한다. 왼쪽 가지가 값 3을 확정한 뒤 오른쪽 MIN 노드의 첫 잎이 2로 드러나면, 그 노드의 값은 2 이하이므로 남은 잎들은 결과에 영향을 줄 수 없다. 알파-베타 가지치기는 바로 그 가지를 건너뛴다.

두 미니맥스를 한 장의 표에 놓으면 경계선이 또렷해진다. 갈림길은 결국 하나의 물음이다 — 이 게임에는 감춰진 것이 있는가.

미니맥스 정리 · 1928

균형의 존재를 보증한다

대상
동시 선택과 감춰진 정보의 2인 제로섬 게임 — 보수 행렬 A 하나로 적히는 세계
해
혼합전략 안장점 — 계산된 비율의 쌍과 게임의 가치 v
도구
볼록성, 분리 초평면, 선형계획법의 쌍대성
서식지
포커, 페널티킥, 그리고 GAN의 생성자–판별자 대결

미니맥스 알고리즘 · 트리 탐색

정해진 값을 계산한다

대상
완전정보 순차 게임 — 체스, 체커, 바둑처럼 모든 수가 보이는 세계
해
순수전략 — 역진 귀납이 정하는 최선의 수. 무작위화는 필요 없다
도구
게임 트리 탐색, 알파-베타 가지치기, 평가함수
서식지
체스 엔진 — 딥 블루(1997년 카스파로프에게 3.5 대 2.5 승리), 스톡피시(알파-베타 탐색에 2020년부터 신경망 평가함수 NNUE를 결합). 알파제로(2017)는 몬테카를로 트리 탐색 계열로, 고전적 알파-베타와는 또 다른 갈래다

그럼에도 두 미니맥스는 하나의 문장을 공유한다. 상대가 최선을 다한다고 가정하고, 그 최악의 경우에 대비해 나의 최선을 고른다. 다른 것은 그 '최선'의 모습이다 — 완전정보의 세계에서는 하나의 순수한 수이고, 감춰진 정보의 세계에서는 계산된 비율이다.

알고리즘은 '어떻게 계산하는가'에 답하고, 정리는 '무엇이 존재하는가'에 답한다 — 이름은 하나, 게임은 둘이다.

AFTER THE THEOREM

정리, 그 이후

1928년의 등식은 결승선이 아니라 출발선이었다. 기대효용에서 통계학과 선형계획으로, 학습이론에서 포커 AI와 GAN까지 — 미니맥스 정리가 남긴 후예들을 따라간다.

혼합전략의 밑돌 — 기대효용

혼합전략이 ‘기대보수를 최대화한다’는 말이 성립하려면, 보수는 애초에 기대값으로 비교할 수 있는 양이어야 한다. 폰 노이만과 모르겐슈테른은 Theory of Games and Economic Behavior(1944)에서 이 전제 자체를 정리로 만들었다. 완비성·이행성·연속성·독립성의 공리를 만족하는 선호는 반드시 어떤 효용함수의 기대값을 최대화하는 것으로 표현된다는 것이다. 따라서 보수 행렬 A의 숫자가 이 효용의 단위로 적혀 있는 한, 혼합전략의 산술은 편의가 아니라 공리의 귀결이다.

기대효용 표현은 1944년 초판에서 제시되었고, 공리로부터의 도출은 1947년 제2판 부록에서 완성되었다. 이렇게 얻은 효용함수는 양의 아핀 변환을 제외하고 유일하다.

일반화 — 시온의 미니맥스 정리

1928년의 증명은 유한한 보수 행렬 A와 확률 단체 위의 쌍선형 함수에 관한 것이었다. 모리스 시온(Maurice Sion)은 1958년 Pacific Journal of Mathematics에 실린 논문에서 이 틀을 넓혔다. 두 전략 집합이 볼록집합이고 그중 하나가 콤팩트하며, 함수가 한 변수에 대해 준오목·다른 변수에 대해 준볼록이고 적절한 반연속성을 갖추면 minimax = maximin이 성립한다. 폰 노이만의 미니맥스 정리는 이 명제의 특수한 경우 — 콤팩트한 단체 위의 쌍선형 함수 — 로 내려앉는다. 다만 콤팩트성은 장식이 아니라 조건이다. 무한 전략 공간에서 콤팩트성이 무너지면, 이를테면 더 큰 자연수를 부른 쪽이 이기는 게임처럼 게임의 가치 v 자체가 존재하지 않을 수 있다.

자연을 상대로 한 게임 — 발트의 통계학

아브라함 발트(Abraham Wald)는 1939년 Annals of Mathematical Statistics 논문에서 추정과 가설검정을 하나의 ‘통계적 결정문제’로 통합했고, 1950년의 저서 Statistical Decision Functions에서 그 체계를 완성했다. 구도는 정확히 2인 제로섬 게임이다. 결정규칙을 고르는 통계학자가 행 플레이어, 미지의 분포를 고르는 ‘자연’이 열 플레이어가 되고, 위험함수가 보수의 자리를 대신한다. 최악의 자연을 상정하고 최대 위험을 최소화하는 미니맥스 결정규칙과 미니맥스 추정량이 여기서 태어났다. 자연이 실제로 악의적일 필요는 없다. 미니맥스는 자연에 대해 어떤 확률도 가정하지 않겠다는 통계학자의 신중함이다.

선형계획으로 적힌 게임

행 플레이어의 최적 혼합전략 x를 찾는 일은 다음 선형계획 문제를 푸는 일과 정확히 같다.

maxx, v  v
s.t.  Σi xi aij ≥ v모든 열 j에 대하여
Σi xi = 1,  xi ≥ 0

열 플레이어가 최대 기대손실을 최소화하는 문제는 정확히 이 문제의 쌍대이고, 선형계획의 쌍대정리에 의해 두 최적값은 일치한다 — 그 공통값이 게임의 가치 v다. 선형계획은 다항 시간에 풀리므로(Khachiyan, 1979) 2인 제로섬 게임의 가치와 최적 혼합전략 역시 다항 시간에 계산된다. 대조적으로 일반 비제로섬 게임의 내시 균형 계산은 PPAD-완전임이 증명되었고(Daskalakis–Goldberg–Papadimitriou, 2006), 2인 게임에서도 마찬가지임이 곧 확인되었다(Chen–Deng, 2006). ‘풀리는 게임’이라는 성질이 제로섬 구조의 특권임을 보여 주는 결과다.

학습이 균형을 찾는다

줄리아 로빈슨(Julia Robinson)은 1951년 Annals of Mathematics 논문에서, 조지 브라운(George W. Brown)이 제안한 가상 대국 — 상대가 지금까지 둔 수의 누적 분포에 대한 최선 대응을 반복하는 절차 — 이 2인 제로섬 게임에서 게임의 가치로 수렴함을 증명했다. 앞 장의 전략 실험실이 3×3 이상의 게임을 푸는 방법이 정확히 이 절차다. 데이비드 블랙웰(David Blackwell)의 접근가능성 정리(1956, Pacific Journal of Mathematics)는 보수가 벡터일 때에도 성립하는 미니맥스의 유사물을 세워 이후 학습 이론의 기하학적 토대가 되었다. 프로인트와 샤파이어(Freund–Schapire, 1999)는 이를 현대적 형태로 정식화했다. 두 플레이어가 각자 무후회(no-regret) 알고리즘 — 이를테면 곱셈 가중치 갱신 — 으로 반복 플레이하면 경험적 혼합전략의 시간 평균이 미니맥스 해로 수렴하며, 이 사실만으로 미니맥스 정리의 또 하나의 증명이 나온다. 오늘날의 대규모 게임 인공지능이 균형을 직접 계산하는 대신 자기 대국으로 ‘학습’하는 근거가 바로 여기에 있다.

1928년의 한 장짜리 등식은 이렇게 공리의 언어(1944), 위상의 언어(1958), 통계의 언어(1950), 계산의 언어(1979), 학습의 언어(1951–현재)로 거듭 다시 적혔다.

POKER, NINETY-SIX YEARS LATER

포커, 96년 뒤

폰 노이만이 1928년 논문의 출발점으로 삼은 게임은 다름 아닌 포커였다 — 허세와 은폐조차 수학의 대상이 될 수 있음을 보이려던 그 게임이, 한 세기 가까이 지나 정리의 가장 화려한 응용 무대가 되었다. 전환점은 진케비치 외의 반사실적 후회 최소화(CFR)였다(NIPS 2007). 자기 자신과의 대국에서 "그때 다르게 두었더라면"이라는 후회를 정보집합마다 줄여 나가는 무후회 학습으로, 2인 제로섬 게임에서는 평균 전략이 미니맥스 균형으로 수렴한다 — 이 성질 덕분에 1012개 상태 규모의 불완전정보 게임에서도 근사 균형을 계산하는 길이 열렸다.

DeepStack — 사이언스 2017

앨버타 대학과 체코 연구진(모라브치크·슈미트 외)의 작품으로, 심층학습으로 배운 '직관'과 실시간 재계산을 결합해 헤즈업 노리밋 홀덤에서 프로 선수들을 통계적으로 유의하게 꺾었다.

Libratus — 사이언스 2017

브라운과 샌드홀름(카네기멜런)의 설계로, 2017년 1월 피츠버그에서 20일간 12만 핸드를 겨뤄 최정상 프로 4인을 큰 차이로 이겼다 — 헤즈업 노리밋 홀덤에서 인간 최정상이 무너진 순간이다.

Pluribus — 사이언스 2019

브라운과 샌드홀름이 6인 노리밋 홀덤으로 확장한 후속작으로, 미니맥스의 보증이 형식적으로는 닿지 않는 다인 게임에서도 같은 계보의 자기대국 기법으로 최정상 프로들을 능가했다.

이 계보의 요체는 상대의 심리를 읽는 데 있지 않다. 목표는 오직 자신의 전략을 착취 불가능하게 — 곧 미니맥스 최적에 가깝게 — 다듬는 것이며, 그 발상 자체가 1928년 정리의 직계 후손이다.

ADVERSARY AS TRAINER

적대가 훈련시킨다 — GAN

굿펠로 외가 제안한 생성적 적대 신경망(GAN, NeurIPS 2014)은 이미지 생성이라는 문제를 2인 제로섬 게임으로 바꾸어 놓았다. 생성자 G는 진짜 같은 표본을 빚어 내고, 판별자 D는 진짜와 가짜를 가려내며, 둘은 하나의 목적함수를 두고 겨룬다.

minG maxD 𝔼x[log D(x)] + 𝔼z[log(1 − D(G(z)))]

훈련의 매 단계는 이 미니맥스 게임의 안장점을 향해 한쪽은 내려가고 다른 쪽은 올라가는 일이며, 이상적인 해에서 생성자의 분포는 자료의 분포와 일치하고 판별자는 더 이상 아무것도 가려내지 못한다. 같은 구도는 생성을 넘어 일반화된다 — 최악의 교란자를 상대로 한 min–max 최적화, 곧 적대적 학습과 강건 최적화는 공격에 흔들리지 않는 모델을 만드는 표준 처방이 되었다.

EVIDENCE FROM THE COURT

그라운드의 증거들

페널티킥의 실증은 앞 장에서 이미 보았다 — 또 하나의 고전은 테니스 코트에서 나왔다. 워커와 우더스는 「윔블던에서의 미니맥스 플레이」(아메리칸 이코노믹 리뷰, 2001)에서 매켄로, 보리, 베커, 샘프러스 등이 겨룬 명승부들의 서브 방향을 분석했고, 좌우 어느 쪽으로 서브를 넣든 득점 확률이 통계적으로 구별되지 않음을 확인했다 — 혼합전략 균형이 예측하는 승률 균등화 그대로다. 다만 방향을 지나치게 자주 바꾸는 미세한 계열 상관은 남아 있었고, 같은 검정을 실험실 데이터에 적용하면 균형 플레이는 어김없이 기각된다. 실험실의 아마추어는 종종 미니맥스에서 벗어나지만, 이해관계가 크고 훈련이 깊은 프로는 정리대로 플레이한다.

CALCULATED RANDOMNESS

계산된 무작위성 — 보안

혼합전략의 교훈 — 예측 가능성 자체가 약점이라는 것 — 은 공공 보안의 설계 원리가 되었다. 탐베 연구진이 개발한 ARMOR는 2007년 8월부터 로스앤젤레스 국제공항에 배치되어 진입로 검문소와 폭발물 탐지견 순찰의 시간표를 게임이론으로 무작위화했고, 같은 계열의 시스템이 연방 항공보안관의 항공편 배치(IRIS, 2009)와 해안경비대의 항만 순찰(PROTECT, 2011)로 이어졌다. 정확히 말하면 이들의 수학은 수비자가 전략을 먼저 공표하는 스타켈베르크 게임 모형이지, 폰 노이만의 제로섬 미니맥스 그 자체는 아니다. 그러나 무작위성을 감이 아니라 최적화로 계산한다는 발상의 계보는, 혼합전략이 최선일 수 있음을 처음 증명한 1928년의 정리로 곧장 거슬러 오른다.

CODA

하나의 등식, 그 후 한 세기

통계적 결정이론과 선형계획법의 쌍대성에서, 무후회 학습과 포커 인공지능, 생성 모델의 안장점 탐색과 공항의 순찰표까지 — 그 모든 길은 max min = min max라는 하나의 등식을 지난다. 1928년의 논문 한 편이 증명한 이 등식은, 한 세기가 지나는 동안 통계학과 최적화와 학습이론과 인공지능이 함께 쓰는 공용어가 되었다.

최악을 준비하는 것이 최선일 수 있다 — 1928년의 이 통찰은 오늘도 어딘가에서 계산되고 있다.